3重積分重心密度、一様、物体、極座標、三角関数(正弦と余弦)、円板、半径、距離、比例、質量

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続解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第9章(3重積分)、3(重心)の練習問題11の解答を求めてみる。

質量。

比例定数を k とする。

\begin{array}{l} \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{a} (k r) r d r d θ \\ = k \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{a} r^{2} d r d θ \\ = \frac{1}{3} k \int_{0}^{2 π} a^{3} d θ \\ = \frac{2 k a^{3} π}{3} \end{array}

重心の各座標。

\begin{array}{l} \bar{x} = 0 \\ \bar{y} = 0 \end{array}

実際に計算により求める。

\begin{array}{l} \bar{x} \\ = \frac{1}{m} \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{a} (r \cos θ) r d r d θ \\ = \frac{1}{m} \int_{0}^{2 π} \cos θ \int_{0}^{a} r^{2} d r d θ \\ = \frac{1}{3 m} \int_{0}^{2 π} a^{3} \cos θ d θ \\ = 0 \end{array}

また、

\begin{array}{l} \bar{y} \\ = \frac{1}{m} \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{a} (r \sin θ) r d r d θ \\ = \frac{1}{m} \int_{0}^{2 π} \sin θ \int_{0}^{a} r^{2} d r d θ \\ = \frac{a^{3}}{3 m} \int_{0}^{2 π} \sin θ d θ \\ = 0 \end{array}

問題の円板の件分の質量。

\begin{array}{l} m \\ = \frac{1}{4} \cdot \frac{2 k a^{3} π}{3} \\ = \frac{k a^{3} π}{6} \end{array}

第1象限の4半分を考える。

重心の各座標。

\begin{array}{l} \bar{x} \\ = \frac{1}{m} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \int_{0}^{a} (r \cos θ) r d r d θ \\ = \frac{1}{m} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos θ \int_{0}^{a} r^{2} d r d θ \\ = \frac{a^{3}}{3 m} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos θ d θ \\ = \frac{a^{3}}{3 m} {[\sin θ]}_{0}^{\frac{π}{2}} \\ = \frac{a^{3}}{3 m} \\ = \frac{a^{3}}{3} \cdot \frac{6}{k a^{3} π} \\ = \frac{2}{k π} \end{array}

また、

\begin{array}{l} \frac{}{y} \\ = \frac{1}{m} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \int_{0}^{a} (r \sin θ) r d r d θ \\ = \frac{1}{m} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin θ \int_{0}^{a} r^{2} d r d θ \\ = \frac{a^{3}}{3 m} {[- \cos θ]}_{0}^{\frac{π}{2}} \\ = \frac{a^{3}}{3} \cdot \frac{6}{k a^{3} π} \\ = \frac{2}{k π} \end{array}