3重積分重心密度、一様、物体、円柱座標、三角関数(正弦と余弦)、底面からの距離、比例、質量

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続解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第9章(3重積分)、3(重心)の練習問題10の解答を求めてみる。

質量。

\begin{array}{l} m \\ = \int_{0}^{h} \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{a} (k z) r d r d θ dz \\ = k \int_{0}^{h} z \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{a} r d r d θ dz \\ = \frac{k}{2} \int_{0}^{h} z \int_{0}^{2 π} a^{2} d θ dz \\ = \frac{k}{2} a^{2} \cdot 2 π \int_{0}^{h} z d z \\ = k a^{2} π \frac{1}{2} h^{2} \\ = \frac{1}{2} k π a^{2} h^{2} \end{array}

重心の各座標。

\begin{array}{l} \bar{x} \\ = \frac{1}{m} \int_{0}^{h} \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{a} (r \cos θ) r d r d θ dz \\ = \frac{1}{m} \int_{0}^{h} \int_{0}^{2 π} \cos θ \int_{0}^{a} r^{2} d r d θ d z \\ = \frac{1}{m} \cdot \frac{1}{3} \int_{0}^{h} \int_{0}^{2 π} a^{3} \cos θ d θ d z \\ = \frac{1}{m} \cdot \frac{a^{3}}{3} \int_{0}^{h} {[\sin θ]}_{0}^{2 π} dz \\ = 0 \end{array}

同様に、

\begin{array}{l} \bar{y} \\ = \frac{1}{m} \int_{0}^{h} \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{a} (r \sin θ) r d r d θ dz \\ = \frac{1}{m} \cdot \frac{h^{3}}{3} \int_{0}^{h} {[- \cos θ]}_{0}^{2 π} dz \\ = 0 \end{array}

また、

\begin{array}{l} \bar{z} \\ = \frac{1}{m} \int_{0}^{h} \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{a} z r d r d θ d z \\ = \frac{1}{m} \int_{0}^{h} z \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{a} r d r d θ d z \\ = \frac{1}{m} \cdot \frac{a^{2}}{2} \int_{0}^{h} z \int_{0}^{2 π} d θ d z \\ = \frac{1}{m} \cdot π a^{2} \int_{0}^{h} z d z \\ = \frac{1}{m} \cdot π a^{2} \frac{1}{2} h^{2} \\ = \frac{2}{k π a^{2} h^{2}} \cdot \frac{1}{2} π a^{2} h^{2} \\ = \frac{1}{k} \end{array}