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関数の変化をとらえる - 関数の極限と微分法導関数とその計算積および商の微分関数、累乗、帰納法

新装版数学読本4
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学習環境

新装版数学読本4 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第17章(関数の変化をとらえる - 関数の極限と微分法)、17.3(導関数とその計算)、積および商の微分の問28の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} \frac{d}{dx} {(f (x))}^{n} \\ = \frac{d}{dx} (f (x) f {(x)}^{n - 1}) \\ = (\frac{d}{dx} f (x)) {(f (x))}^{n - 1} + f (x) (n - 1) {(f (x))}^{n - 2} \frac{d}{dx} f (x) \\ = ({(f (x))}^{n - 1} + (n - 1) {(f (x))}^{n - 1}) \frac{d}{dx} f (x) \\ = n {(f (x))}^{n - 1} \frac{d}{dx} f (x) \end{array}

よって帰納法により成り立つ。