数学のブログ

関数の変化をとらえる - 関数の極限と微分法導関数とその計算積および商の微分平方根、ニュートン商の極限

新装版数学読本4
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学習環境

新装版数学読本4 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第17章(関数の変化をとらえる - 関数の極限と微分法)、17.3(導関数とその計算)、積および商の微分の問31の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} \frac{\sqrt{x + h} - \sqrt{x}}{h} \\ = \frac{(\sqrt{x + h} - \sqrt{x}) (\sqrt{x + h} + \sqrt{x})}{h (\sqrt{x + h} + \sqrt{x})} \\ = \frac{x + h - x}{h (\sqrt{x + h} + \sqrt{x})} \\ = \frac{h}{h (\sqrt{x + h} + \sqrt{x})} \\ = \frac{1}{\sqrt{x + h} + \sqrt{x}} \end{array}

よって、

\begin{array}{l} \frac{d}{dx} \sqrt{x} \\ = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x + h} - \sqrt{x}}{h} \\ = \frac{1}{2 \sqrt{x}} \end{array}