関数の変化をとらえる - 関数の極限と微分法導関数とその計算積および商の微分分子と分母

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新装版数学読本4 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第17章(関数の変化をとらえる - 関数の極限と微分法)、17.3(導関数とその計算)、積および商の微分の問30の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} \frac{d}{dx} \frac{3}{2 - x} \\ = \frac{3}{{(2 - x)}^{2}} \end{array}

\begin{array}{l} \frac{d}{dx} \frac{x}{x^{2} + 1} \\ = \frac{(x^{2} + 1) - x \cdot 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \\ = \frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \end{array}

\begin{array}{l} \frac{d}{dx} \frac{x^{2} + 2}{3 x + 4} \\ = \frac{2 x (3 x + 4) - (x^{2} + 2) 3}{{(3 x + 4)}^{2}} \\ = \frac{3 x^{2} + 8 x - 6}{{(3 x + 4)}^{2}} \end{array}

\begin{array}{l} \frac{d}{dx} \frac{x^{2} - 2 x + 6}{x^{2} + x + 2} \\ = \frac{(2 x - 2) (x^{2} + x + 2) - (x^{2} - 2 x + 6) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}} \\ = \frac{3 x^{2} + (2 - 10) x - 4 - 6}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}} \\ = \frac{3 x^{2} - 8 x - 10}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}} \end{array}

\begin{array}{l} \frac{d}{dx} \frac{x^{2} + 3}{x^{3} - 4} \\ = \frac{2 x (x^{3} - 4) - (x^{2} + 3) \cdot 3 x^{2}}{{(x^{3} - 4)}^{2}} \\ = \frac{- x^{4} - 9 x^{2} - 8 x}{{(x^{3} - 4)}^{2}} \end{array}

\begin{array}{l} \frac{d}{dx} \frac{{(3 x + 2)}^{3}}{{(2 x - 1)}^{2}} \\ = \frac{3 {(3 x + 2)}^{2} 3 {(2 x - 1)}^{2} - {(3 x + 2)}^{3} 2 (2 x - 1) 2}{{(2 x - 1)}^{4}} \\ = \frac{{(3 x + 2)}^{2} (9 (2 x - 1) - 4 (3 x + 2))}{{(2 x - 1)}^{3}} \\ = \frac{{(3 x + 2)}^{2} (6 x - 17)}{{(2 x - 1)}^{3}} \end{array}