フーリエ展開三角関数系とフーリエ級数三角多項式

学習環境

解析入門(中) (松坂和夫数学入門シリーズ 5) (松坂和夫 (著)、岩波書店)の第19章(フーリエ展開)、19.1(三角関数系とフーリエ級数)、問題1の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} c_{n} = \frac{a_{n} - i b_{n}}{2} \\ c_{- n} = \frac{a + i b_{n}}{2} \end{array}

なので、

\begin{array}{l} {| c_{n} |}^{2} = \frac{a_{n} - i b_{n}}{2} \bar{(\frac{a_{n} - i b_{n}}{2})} \\ = \frac{(a_{n} - i b_{n}) (\bar{a_{n}} + i \bar{b_{n}})}{4} \\ = \frac{{| a_{n} |}^{2} + {| b_{n} |}^{2} + i (a_{n} {\bar{b}}_{n} - {\bar{a}}_{n} b_{n})}{4} \\ {| c_{- n} |}^{2} = \frac{a_{n} + i b_{n}}{2} \cdot \bar{(\frac{a_{n} + i b_{n}}{2})} \\ = \frac{(a_{n} + i b_{n}) ({\bar{a}}_{n} - i {\bar{b}}_{n})}{4} \\ = \frac{{| a_{n} |}^{2} + {| b_{n} |}^{2} + i ({\bar{a}}_{n} b_{n} - a_{n} {\bar{b}}_{n})}{4} \end{array}

よって、

\begin{array}{l} {| c_{n} |}^{2} + {| c_{- n} |}^{2} \\ = \frac{{| a_{n} |}^{2} + {| b_{n} |}^{2}}{2} \end{array}

また、

\begin{array}{l} c_{0} = a_{0} \\ {| c_{0} |}^{2} = {| a_{0} |}^{2} \end{array}

ゆえに、

\sum_{- \infty}^{\infty} {| c_{n} |}^{2} = {| a_{0} |}^{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{| a_{n} |}^{2} + {| b_{n} |}^{2}}{2}