3重積分重心密度、一様、物体、円錐、高さ、底面、半径、内部、極座標

学習環境

続解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第9章(3重積分)、3(重心)の練習問題8の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} m \\ = \frac{1}{3} π a^{2} h \end{array}

重心の各座標について。

\begin{array}{l} \bar{x} \\ = \frac{1}{m} \int_{0}^{h} \int_{0}^{\frac{a}{h} z} \int_{0}^{2 π} (r \cos θ) r d θ d r dz \\ = \frac{1}{m} \int_{0}^{h} \int_{0}^{\frac{a}{h} z} r^{2} {[- \sin^{\cdot} θ]}_{0}^{2 π} d r d z \\ = 0 \end{array}

同様に、

\bar{y} = 0

また、

\begin{array}{l} \bar{z} \\ = \frac{1}{m} \int_{0}^{h} \int_{0}^{\frac{a}{h} z} \int_{0}^{2 π} z r d θ d r dz \\ = \frac{3 \cdot 2 π}{π a^{2} h} \int_{0}^{h} \int_{0}^{\frac{a}{h} z} z r d r dz \\ = \frac{3 \cdot 2}{2 a^{2} h} \int_{0}^{h} z {[r^{2}]}_{0}^{\frac{a}{h} z} d z \\ = \frac{3}{a^{2} h} \cdot \frac{a^{2}}{h^{2}} \int_{0}^{h} z^{3} dz \\ = \frac{3}{h^{3}} \cdot \frac{1}{4} h^{4} \\ = \frac{3}{4} h \end{array}