3重積分重心密度、一様、物体、三角関数(正弦と余弦)、累乗、弧

学習環境

続解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第9章(3重積分)、3(重心)の練習問題5の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} m \\ = \int_{0}^{π} \sin x d x \\ = {[- \cos x]}_{0}^{π} \\ = - \cos π + \cos 0 \\ = 2 \end{array}

重心の各座標。

\begin{array}{l} \bar{x} \\ = \frac{1}{m} \int_{0}^{π} \int_{0}^{\sin x} x dy dx \\ = \frac{1}{2} \int_{0}^{π} x \sin x dx \\ = \frac{1}{2} ({[- x \cos x]}_{0}^{π} + \int_{0}^{π} \cos x dx) \\ = \frac{1}{2} (- π \cos π + {[\sin x]}_{0}^{π}) \\ = \frac{π}{2} \end{array}

また、

\begin{array}{l} \bar{y} \\ = \frac{1}{m} \int_{0}^{π} \int_{0}^{\sin x} y dy dx \\ = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \int_{0}^{π} \sin^{2} x dx \\ = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2} x dx \\ = \frac{1}{2} \cdot \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2} \\ = \frac{π}{8} \end{array}