3重積分重心密度、一様、物体、三角形

学習環境

続解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第9章(3重積分)、3(重心)の練習問題1の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} m = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5 \\ = \frac{15}{2} \end{array}

また、

\begin{array}{l} \int_{0}^{3} \int_{0}^{- \frac{5}{3} x + 5} x dy dx \\ = \int_{0}^{3} x (- \frac{5}{3} x + 5) dx \\ = 5 \int_{0}^{3} (- \frac{1}{3} x^{2} + x) dx \\ = 5 {[- \frac{1}{9} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}]}_{0}^{3} \\ = 5 (- 3 + \frac{9}{2}) \\ = 5 \cdot \frac{3}{2} \\ = \frac{15}{2} \end{array}

よって、

\bar{x} = \frac{1}{m} \cdot \frac{15}{2} = 1

また、

\begin{array}{l} \int_{0}^{3} \int_{0}^{- \frac{5}{3} x + 5} y dy dx \\ = \frac{1}{2} \int_{0}^{3} {[y^{2}]}_{0}^{- \frac{5}{3} x + 5} d x \\ = \frac{1}{2} \int_{0}^{3} {(- \frac{5}{3} x + 5)}^{2} dx \\ = \frac{25}{2} \int_{0}^{3} {(- \frac{1}{3} x + 1)}^{2} d x \\ = \frac{25}{2} \int_{0}^{3} (\frac{1}{9} x^{2} - \frac{2}{3} x + 1) dx \\ = \frac{25}{2} {[\frac{1}{27} x^{3} - \frac{1}{3} x^{2} + x]}_{0}^{3} \\ = \frac{25}{2} (1 - 3 + 3) \\ = \frac{25}{2} \end{array}

よって、

\bar{y} = \frac{1}{m} \cdot \frac{25}{2} = \frac{2}{15} \cdot \frac{25}{2} = \frac{5}{3}

ゆえに、求める重心は、

(1, \frac{5}{3})