2次の行列と行列式連立差分方程式の解、数列、漸化式、特性根

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行列と行列式 (現代数学への入門) (砂田利一(著)、岩波書店)の第1章(2次の行列と行列式)、演習問題1.17の解答を求めてみる。

A = [\begin{matrix} 1 & 2 \\ 4 & 3 \end{matrix}]

とおく。

\begin{array}{l} \det (x I - A) = 0 \\ \det [\begin{matrix} x - 1 & - 2 \\ - 4 & x - 3 \end{matrix}] = 0 \\ (x - 1) (x - 3) - 8 = 0 \\ x^{2} - 4 x - 5 = 0 \\ (x - 5) (x + 1) = 0 \\ x = - 1, 5 \end{array}

よって、

\begin{array}{l} x_{n} \\ = \frac{1}{6} (({(- 1)}^{n} 5 - 5^{n} (- 1)) x_{0} + (5^{n} - {(- 1)}^{n}) (x_{0} + 2 y_{0})) \\ = \frac{1}{6} ((5 {(- 1)}^{n} - 5^{n} (- 1)) + (5^{n} - {(- 1)}^{n})) \\ = \frac{1}{6} (2 \cdot 5^{n} + 4 {(- 1)}^{n}) \\ = \frac{1}{3} (5^{n} + 2 {(- 1)}^{n}) \end{array}

また、

\begin{array}{l} y_{n} \\ = \frac{1}{6} (({(- 1)}^{n} 5 - 5^{n} (- 1)) y_{0} + (5^{n} - {(- 1)}^{n}) (4 x_{0} + 3 y_{0})) \\ = \frac{1}{6} (5^{n} - {(- 1)}^{n}) \cdot 4 \\ = \frac{2}{3} (5^{n} - {(- 1)}^{n}) \end{array}