関数の変化をとらえる - 関数の極限と微分法関数の連続性中間値の定理実数係数、奇数次の方程式、実数解の存在、極限、符号

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新装版数学読本4 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第17章(関数の変化をとらえる - 関数の極限と微分法)、17.2(関数の連続性)、中間値の定理の問19の解答を求めてみる。

x \neq 0

のとき、

\begin{array}{l} f (x) \\ = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} x^{k} \\ = x^{n} \sum_{k = 0}^{n} a_{k} x^{k - n} \end{array}

また、

\lim_{x \to \pm \infty} \sum_{k = 0}^{n} a_{k} x^{k - n} = a_{n}

また、 nは奇数なので

\begin{array}{l} x > 0 \Rightarrow x^{n} > 0 \\ x < 0 \Rightarrow x^{n} < 0 \end{array}

よって、十分大きい xに対して、

f (x), f (- x)

は異符号である。

ゆえに、中間値の定理により、

f (x) = 0

は少なくとも1つの実数解をもつ。

（証明終）