数学のブログ

関数の変化をとらえる - 関数の極限と微分法 関数の連続性 中間値の定理 一般化

新装版 数学読本4 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第17章(関数の変化をとらえる - 関数の極限と微分法)、17.2(関数の連続性)、中間値の定理の問20の解答を求めてみる。

mを

の間に ある任意の値とする。

f ( a ) < f ( b )

のとき、

f ( a ) < m < f ( b )

で

f ( a ) - m < 0 < f ( b ) - m

よって、

g ( x ) = f ( x ) - m

とおけば中間値の定理より、 あるaと bの間のcが存在して、

g ( c ) = f ( c ) - m = 0

よって、

f ( c ) = m
f ( a ) > f ( b )

のときも同様。

（証明終）