関数の変化をとらえる - 関数の極限と微分法導関数とその計算微分可能性と連続性絶対値、右側微分係数、左側微分係数

新装版数学読本4
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学習環境

新装版数学読本4 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第17章(関数の変化をとらえる - 関数の極限と微分法)、17.3(導関数とその計算)、微分可能性と連続性の問23の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} x \neq 0 \\ \frac{f (x + 0) - f (0)}{x - 0} \\ = \frac{| x^{2} - x |}{x} \\ = \frac{| x |}{x} | x - 1 | \end{array}

なので、右側微分係数は、

\begin{array}{l} \lim_{x \to + 0} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} \\ = \lim_{x \to + 0} \frac{x}{x} | x - 1 | \\ = \lim_{x \to + 0} | x - 1 | \\ = 1 \end{array}

左側微分係数は、

\begin{array}{l} \lim_{x \to - 0} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} \\ = \lim_{x \to - 0} \frac{- x}{x} | x - 1 | \\ = - \lim_{x \to - 0} | x - 1 | \\ = - 1 \end{array}

よって、微分可能ではない。

\begin{array}{l} x \neq 0 \\ \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} \\ = \frac{x | x |}{x} \\ = | x | \end{array}

よって、微分可能で、

\lim_{x \to 0} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} = 0

コード

#!/usr/bin/env python3
from sympy import symbols, plot

colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

x = symbols('x')
p = plot(abs(x ** 2 - x), x * abs(x),
         (x, -2, 2),
         ylim=(-2, 2),
         legend=True,
         show=False)
for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color
p.show()
p.save('sample23.png')

入出力結果

% ./sample23.py
%