関数の変化をとらえる - 関数の極限と微分法導関数とその計算平均変化率と微分係数直線、平方、平方根、逆数

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新装版数学読本4 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第17章(関数の変化をとらえる - 関数の極限と微分法)、17.3(導関数とその計算)、平均変化率と微分係数の問22の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} \lim_{h \to 0} \frac{f (- 2 + h) - f (- 2)}{h} \\ = \lim_{h \to 0} \frac{(- 3 (- 2 + h) + 2) - (- 3 (- 2) + 2)}{h} \\ = \lim_{h \to 0} \frac{- 3 h}{h} \\ = \lim_{h \to 0} - 3 \\ = - 3 \end{array}

\begin{array}{l} \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{4 + h} - \sqrt{4}}{h} \\ = \lim_{h \to 0} \frac{4 + h - 4}{h (\sqrt{4 + h} + \sqrt{4})} \\ = \lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{4 + h} + \sqrt{4}} \\ = \frac{1}{4} \end{array}

\begin{array}{l} \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{{(1 + h)}^{2}} - \frac{1}{1^{2}}}{h} \\ = \lim_{h \to 0} \frac{1 - {(1 + h)}^{2}}{{(1 + h)}^{2} h} \\ = \lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - h^{2}}{{(1 + h)}^{2} h} \\ = \lim_{h \to 0} \frac{- 2 - h}{{(1 + h)}^{2}} \\ = - 2 \end{array}