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行列 集合と写像 集合 命題、素数全体からなる集合、和集合、共通部分、可換律、結合律、分配律、吸収律

行列と行列式 (現代数学への入門) (砂田 利一(著)、岩波書店)の第2章(行列)、2.1(集合と写像)、a(集合)、問題1、2の解答を求めてみる。

問1

{ n ∈ ℕ \ { 0 , 1 } | ∀ m ∈ ℕ \ { 0 , 1 } [ m < n ⇒ ( m , n ) = 1 ] }

問2

1

x ∈ X ∪ Y ⇔ x ∈ X ∨ x ∈ Y ⇔ x ∈ Y ∨ x ∈ X ⇔ x ∈ Y ∪ X

よって、

X ∪ Y = Y ∪ X

また、

x ∈ X ∩ Y ⇔ x ∈ X ∧ x ∈ Y ⇔ x ∈ Y ∧ x ∈ X ⇔ x ∈ Y ∩ X X ∩ Y = Y ∩ X

2

x ∈ ( X ∪ Y ) ∪ Z ⇔ x ∈ X ∪ Y ∨ x ∈ Z ⇔ x ∈ X ∨ x ∈ Y ∨ x ∈ Z ⇔ x ∈ X ∨ x ∈ Y ∪ Z ⇔ x ∈ X ∪ ( Y ∪ Z ) ( X ∪ Y ) ∪ Z = X ∪ ( Y ∪ Z )

また、

x ∈ ( X ∩ Y ) ∩ Z ⇔ x ∈ X ∩ Y ∧ x ∈ Z ⇔ x ∈ X ∧ x ∈ Y ∧ x ∈ Z ⇔ x ∈ X ∧ x ∈ Y ∩ Z ⇔ x ∈ X ∩ ( Y ∩ Z ) ( X ∩ Y ) ∩ Z = X ∩ ( Y ∩ Z )

3

x ∈ ( X ∪ Y ) ∩ Z ⇔ x ∈ X ∪ Y ∧ x ∈ Z ⇔ ( x ∈ X ∨ x ∈ Y ) ∧ x ∈ Z ⇔ ( x ∈ X ∧ x ∈ Z ) ∨ ( x ∈ Y ∧ x ∈ Z ) ⇔ x ∈ X ∩ Z ∨ x ∈ Y ∩ Z ⇔ x ∈ ( X ∩ Z ) ∪ ( Y ∩ Z ) ( X ∪ Y ) ∩ Z = ( Y ∩ Z ) ∪ ( Y ∩ Z )

また、

x ∈ ( X ∩ Y ) ∪ Z ⇔ x ∈ X ∩ Y ∨ x ∈ Z ⇔ ( x ∈ X ∧ x ∈ Y ) ∨ x ∈ Z ⇔ ( x ∈ X ∨ x ∈ Z ) ∧ ( x ∈ Y ∨ x ∈ Z ) ⇔ x ∈ X ∪ Z ∧ x ∈ Y ∪ Z ⇔ x ∈ ( X ∪ Z ) ∩ ( Y ∪ Z ) ( X ∩ Y ) ∪ Z = ( X ∪ Z ) ∩ ( Y ∪ Z )

4

( X ∪ Y ) ∩ X ⊂ X X ∪ Y ⊃ X ( X ∪ Y ) ∩ X ⊃ X ∩ X = X ( X ∪ Y ) ∩ X = X

また、

( X ∩ Y ) ∪ X ⊃ X X ∩ Y ⊂ X ( X ∩ Y ) ∪ Y ⊂ X ∪ X = X ( X ∩ Y ) ∪ X = X