数学のブログ

行列 集合と写像 全射、単射、全単射、恒等写像、合成写像、逆像、逆写像

行列と行列式 (現代数学への入門) (砂田 利一(著)、岩波書店)の第2章(行列)、2.1(集合と写像)、b(写像)、問題3の解答を求めてみる。

任意のYの元 yに対して、

I Y ( y ) = y

なので、

T ∘ S 1 ( y ) = y T ( S 1 ( y ) ) = y

よってTは全射である。

また、任意のXの元

x 1 , x 2 ∈ X

に対して、

T ( x 1 ) = T ( x 2 )

ならば、

S 2 ( T ( x 1 ) ) = S 2 ( T ( x 2 ) ) ( S 2 ∘ T ) ( x 1 ) = ( S 2 ∘ T ) ( x 2 ) I X ( x 1 ) = I X ( x 2 ) x 1 = x 2

よって、Tは単射である。

ゆえに、Tは全単射である。

また、Yの任意の元yに対して、

( T ∘ S 1 ) ( y ) = y T ( S 1 ( y ) ) = y T - 1 ( y ) = S 1 ( y )

また、

S 2 ( y ) = S 2 ( T ∘ T - 1 ( y ) ) = S 2 ( T ( T - 1 ( y ) ) ) = ( S 2 ∘ T ) ( T - 1 ( y ) ) = T - 1 ( y )

よって、

S 1 = S 2 = T - 1