整数剰余類と合同式正整数、3桁区切り法、符号、和

学習環境

親切な代数学演習新装2版―整数・群・環・体 (加藤明史(著)、現代数学社)の第Ⅰ部(整数)、第3章(剰余類と合同式)の問17の解答を求めてみる。

aを任意の正整数とする。

aを 3桁ごとに区切り表す。

a = \sum_{k = 0}^{n} 100 0^{k} a_{k}

末位から交互に十一の符号を付けて加えた数は

a' = \sum_{k = 0}^{n} {(- 1)}^{k} a_{k}

また、

\begin{array}{l} 1000 \\ \equiv 7 \cdot 14 \cdot 2 + 6 \\ \equiv - 1 \\ (m o d 7) \\ 1000 \\ \equiv 11 \cdot 90 + 10 \\ \equiv - 1 \\ (m o d 11) \\ 1000 \\ \equiv 13 \cdot 76 + 12 \\ \equiv - 1 \\ (m o d 13) \end{array}

よって、

\begin{array}{l} a \\ \equiv \sum_{k = 0}^{n} 100 0^{k} a_{k} \\ \equiv \sum_{k = 0}^{n} {(- 1)}^{k} a_{k} \\ \equiv a' \\ (m o d 7) \\ (m o d 11) \\ (m o d 13) \end{array}

（証明終）