数学のブログ

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現代数学への入門微分と積分1 初等関数を中心に
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学習環境

現代数学への入門微分と積分1 初等関数を中心に (青本和彦(著)、岩波書店)の第1章(数列と関数)、1.4(連続関数)、i(指数関数、対数関数)の問45の解答を求めてみる。

1

\begin{array}{l} {(a^{\frac{1}{2}})}^{2} \\ = {(e^{\frac{1}{2} \log a})}^{2} \\ = e^{\log a} \\ = a \end{array}

よって、

\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}

2

\begin{array}{l} a^{\frac{2}{3}} \\ = e^{\frac{2}{3} \log a} \\ = {(e^{\frac{1}{3} \log a})}^{2} \\ = {(a^{\frac{1}{3}})}^{2} \end{array}

また、

{(a^{\frac{1}{3}})}^{3} = a

よって、

\sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}}

ゆえに、

{(\sqrt[3]{a})}^{2} = a^{\frac{2}{3}}

3

{(a^{\frac{x}{n}})}^{n} = a^{\frac{x}{n} \cdot n} = a^{x}

よって、

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}