数学のブログ

位相 閉集合、開集合、位相空間 自明な位相空間、空集合、全体、終域、逆像、連続写像 1

トポロジー入門 (松本 幸夫(著)、岩波書店)の第2章(位相)、5(閉集合、開集合、位相空間)の演習問題5.10の解答を求めてみる。

Yを任意の位相空間とする。

fを 離散位相空間XからYへの任意の写像とする。

このとき、 Yの任意の開集合Oに対して、その逆像はXの部分集合である。

f - 1 ( O ) ⊂ X

Xは離散位相空間なので、任意の部分集合は開集合、すなわち

f - 1 ( O )

は開集合である。

よって、 fは連続である。

（証明終）