ベクトル空間 1次独立と1次従属定義、1次関係、行列式による判定

学習環境

手を動かしてまなぶ線形代数 (藤岡敦(著)、裳華房)の第5章(ベクトル空間)、14(1次独立と1次従属)、確認問題、問14.1の解答を求めてみる。

\sum_{k = 1}^{m} c_{k} x_{k} = O

が自明な1次関係しかもたないとき、すなわち

c_{k} = 0

のときしか成り立たない場合、ベクトル

x_{1,} \dots, x_{n}

は1次独立であるという。

1次独立ではない場合、1次従属であるという。

ア

\begin{array}{l} \det (a_{1}, a_{2}, a_{3}) \\ = \det [\begin{matrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{matrix}] \\ = (8 + 1 + 1) - (2 + 2 + 2) \\ = 4 \\ \neq 0 \end{array}

よって、 1次独立である。

イ

\begin{array}{l} \det (a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}) \\ = \det [\begin{matrix} 0 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 3 & 2 \\ 2 & 3 & 0 & 1 \\ 3 & 2 & 1 & 0 \end{matrix}] \\ = 0 \end{array}

よって、1次従属である。