数学のブログ

ベクトル空間部分空間、和集合、包含関係、対偶、背理法

手を動かしてまなぶ線形代数
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学習環境

手を動かしてまなぶ線形代数 (藤岡敦(著)、裳華房)の第5章(ベクトル空間)、13(ベクトル空間)、チャレンジ問題、問13.6の解答を求めてみる。

W_{1} ⊄ W_{2}

かつ

W_{2} ⊄ W_{1}

ならば、ある

\begin{array}{l} x \in W_{1} \land x \notin W_{2} \\ y \in W_{2} \land y \notin W_{1} \end{array}

が存在する。

これについて、

x, y \in W_{1} \cup W_{2}

である。

また、

x + y \in W_{1} \cup W_{2}

と仮定する。

x + y \in W_{1}

ならば、

\begin{array}{l} - x \in W_{1} \\ (x + y) - x \in W_{1} \\ y \in W_{1} \end{array}

となり矛盾。

よって、

x + y \notin W_{1}

同様に、

x + y \notin W_{2}

よって、

x + y \notin W_{1} \cup W_{2}

ゆえに、

W_{1} \cup W_{2}

はVの部分空間ではない。

対偶を考えれば、

W_{1} \cup W_{2}

が部分空間ならば、

W_{1} \subset W_{2}

または

W_{2} \subset W_{1}

である。

具体例。

\begin{array}{l} V = ℝ^{2} \\ W_{1} = {(x, 0) \in ℝ^{2}} \\ W_{2} = {(0, x) \in ℝ^{2}} \end{array}