数学のブログ

ベクトル空間正方行列、部分集合、行列式、零

手を動かしてまなぶ線形代数
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学習環境

手を動かしてまなぶ線形代数 (藤岡敦(著)、裳華房)の第5章(ベクトル空間)、13(ベクトル空間)、基本問題、問13.5の解答を求めてみる。

n次の正方行列Aを

\begin{array}{l} a_{i j} = 1 (i = j \land i < n) \\ a_{i j} = 0 (i \neq j \lor i = n) \end{array}

と定めると、

\det A = 0

なので、AはWの元である。

また、 Bを

\begin{array}{l} b_{i j} = 1 (i = j = n) \\ b_{i j} = 0 (i \neq n) \end{array}

と定めると、

\det B = 0

なので、 BはWの元である。

AとBの和の行列式について、

A + B = I_{n}

なので、

\det (A + B) = 1

よって、和はWの元ではない。

ゆえに加法について閉じていないのでWは部分空間ではない。