数学のブログ

ベクトル空間 和とスカラー倍、部分空間、行列、積

手を動かしてまなぶ 線形代数 (藤岡 敦(著)、裳華房)の第5章(ベクトル空間)、13(ベクトル空間)、基本問題、問13.4の解答を求めてみる。

Wが部分空間であるためには、

O ∈ W

でなければならない。

このとき、

A O B = C C = O

また、

C = O

ならば、

O ∈ W

また、 任意の

X 1 , X 2 ∈ W c ∈ ℝ

に対して、

A ( X 1 + X 2 ) B = A X 1 B + A X 2 B = O + O = O

なので、

X 1 + X 2 ∈ W

また、

A ( c X 1 ) B = c A X 1 B = c O = O

なので、

c X 1 ∈ W

となり、 和とスカラー倍について閉じている。

よって、

C = O

のとき、Wは部分空間になる。