数学のブログ

ベクトル空間和とスカラー倍、部分空間の共通部分、和空間

手を動かしてまなぶ線形代数
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学習環境

手を動かしてまなぶ線形代数 (藤岡敦(著)、裳華房)の第5章(ベクトル空間)、13(ベクトル空間)、確認問題、問13.2の解答を求めてみる。

1

任意の

\begin{array}{l} c \in ℝ \\ u, v \in W_{1} \cap W_{2} \end{array}

に対して、

u, v \in W_{1}

なので、

\begin{array}{l} c u \in W_{1} \\ u + v \in W_{1} \end{array}

同様に、

\begin{array}{l} c u \in W_{2} \\ u + v \in W_{2} \end{array}

よって、

\begin{array}{l} u + v \in W_{1} \cap W_{2} \\ c u \in W_{1} \cap W_{2} \end{array}

ゆえに

W_{1} \cap W_{2}

は部分空間である。

2

任意の

\begin{array}{l} c \in ℝ \\ u, v \in W_{1} + W_{2} \end{array}

に対して、ある

\begin{array}{l} w_{11}, w_{12} \in W_{1} \\ w_{21}, w_{22} \in W_{2} \end{array}

が存在して、

\begin{array}{l} u = w_{11} + w_{21} \\ v = w_{12} + w_{22} \end{array}

とおくことができる。

このとき、

\begin{array}{l} u + v \\ = (w_{11} + w_{21}) + (w_{12} + w_{22}) \\ = (w_{11} + w_{12}) + (w_{21} + w_{22}) \\ \in W_{1} + W_{2} \end{array}

また、

\begin{array}{l} c u \\ = c (w_{11} + w_{21}) \\ = c w_{11} + c w_{21} \\ \in W_{1} + W_{2} \end{array}

よって、

W_{1} + W_{2}

は部分空間である。