数学のブログ

ベクトル空間和とスカラー倍、次数、次数係数、多項式全体の集合、部分空間

手を動かしてまなぶ線形代数
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学習環境

手を動かしてまなぶ線形代数 (藤岡敦(著)、裳華房)の第5章(ベクトル空間)、13(ベクトル空間)、基本問題、問13.3の解答を求めてみる。

任意の実数c と任意の

u, v \in ℝ {[t]}_{n}

に対して、

\begin{array}{l} u = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} t^{k} \\ v = \sum_{k = 0}^{n} b_{k} t^{k} \\ a_{k}, b_{k} \in ℝ \end{array}

とおくことができ、

\begin{array}{l} u + v \\ = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} t^{k} + \sum_{k = 0}^{n} b_{k} t^{k} \\ = \sum_{k = 0}^{n} (a_{k} + b_{k}) t^{k} \\ \in ℝ {[t]}_{n} \end{array}

また、

\begin{array}{l} c u \\ = c \sum_{k = 0}^{n} a_{k} t^{k} \\ = \sum_{k = 0}^{n} (c a_{k}) t^{k} \\ \in ℝ {[t]}_{n} \end{array}

よって、部分空間である。