3重積分円柱座標と球座標 3-空間、領域、体積、平面、円錐、側面

続解析入門 (原書第2版)
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原著: Calculus of Several Variables

学習環境

続解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第9章(3重積分)、2(円柱座標と球座標)の練習問題11の解答を求めてみる。

\frac{1}{3} π

\begin{array}{l} z^{2} + z^{2} = 1 \\ z^{2} = \frac{1}{2} \\ z = \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array}

よって、

\begin{array}{l} \cos φ = \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{1} = \frac{1}{\sqrt{2}} \\ φ = \frac{π}{4} \end{array}

求める領域の体積。

\begin{array}{l} 8 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \int_{0}^{1} ρ^{2} \sin φ d ρ d φ d θ \\ = \frac{8}{3} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} {[ρ^{3}]}_{0}^{1} \sin φ d φ d θ \\ = \frac{8}{3} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \sin φ d φ d θ \\ = \frac{8}{3} \int_{0}^{\frac{π}{2}} {[- \cos φ]}_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} d θ \\ = \frac{8}{3} \int_{0}^{\frac{π}{2}} (- \cos \frac{π}{2} + \cos \frac{π}{4}) d θ \\ = \frac{8}{3} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos \frac{π}{4} d θ \\ = \frac{8}{3 \sqrt{2}} \int_{0}^{\frac{π}{2}} d θ \\ = \frac{8}{3 \sqrt{2}} \cdot \frac{π}{2} \\ = \frac{4 π}{3 \sqrt{2}} \\ = \frac{2 \sqrt{2}}{3} π \end{array}

\begin{array}{l} \int_{0}^{1} π {(\sqrt{z})}^{2} dz \\ = π \int_{0}^{1} z dz \\ = \frac{π}{2} {[z^{2}]}_{0}^{1} \\ = \frac{π}{2} \end{array}

コード、入出力結果(Wolfram Language, Jupyter Notebook)

ContourPlot3D[
    {
        z == 1,
        z^2 == x^2+y^2
    },
    {x, 0, 2},
    {y, 0, 2},
    {z, 0, 2},
    AxesLabel -> Automatic
]

ContourPlot3D[
    {
        z^2 == x^2+y^2,
        x^2+y^2+z^2 == 1
    },
    {x, 0, 2},
    {y, 0, 2},
    {z, -1, 1},
    AxesLabel -> Automatic
]

ContourPlot3D[
    {
        z == x^2+y^2,
        x^2+y^2 == 1,
        z == 0
    },
    {x, 0, 2},
    {y, 0, 2},
    {z, 0, 2},
    AxesLabel -> Automatic
]