数学のブログ

3重積分 円柱座標と球座標 錐面、方程式、三角関数(正弦と余弦)、球面、中心、体積

続 解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第9章(3重積分)、2(円柱座標と球座標)の練習問題10の解答を求めてみる。

錐面、 球面の図。

球面の中心は

( 0 , 0 , a )

錐面の球座標による方程式。

( ρ cos φ ) 2 = ( ρ sin φ cos θ ) 2 + ( ρ sin φ sin θ ) 2 cos 2 φ = sin 2 φ cos 2 θ + sin 2 φ sin 2 θ cos 2 φ = sin 2 φ ( cos 2 θ + sin 2 θ ) cos 2 φ = sin 2 φ

求める体積。

1 2 · 4 3 π a 3 + 1 3 π a 3 = π a 3

コード、入出力結果(Wolfram Language, Jupyter Notebook)

Show[
    SphericalPlot3D[
        2 Cos[s],
        {s, 0, Pi/2},
        {t, 0, 2Pi},
        PlotStyle -> Opacity[0.5]
    ],
    ContourPlot3D[
        z^2 == x^2+y^2,
        {x, -1, 1},
        {y, -1, 1},
        {z, 0, 2},
        ContourStyle -> Green
    ]
]
Output