3重積分円柱座標と球座標球、密度、質量、球殻、原点からの距離、逆数、積分の極限

学習環境

続解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第9章(3重積分)、2(円柱座標と球座標)の練習問題3の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{π} \int_{0}^{α} k ρ ρ^{2} \sin φ d ρ d φ d θ \\ = \frac{k}{4} \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{π} {[ρ^{4}]}_{0}^{α} \sin φ d φ d θ \\ = \frac{k α^{4}}{4} \int_{0}^{2 π} {[- \cos φ]}_{0}^{π} d θ \\ = \frac{k a^{4}}{2} \int_{0}^{2 π} d θ \\ = π k α^{4} \end{array}

\begin{array}{l} \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{π} \int_{α}^{1} \frac{1}{ρ} ρ^{2} \sin φ d ρ d φ d θ \\ = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{π} \int_{α}^{1} ρ \sin φ d ρ d φ d θ \\ = \frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{π} {[ρ^{2}]}_{α}^{1} \sin φ d φ d θ \\ = \frac{1 - α^{2}}{2} \int_{0}^{2 π} {[- \cos φ]}_{0}^{π} d θ \\ = (1 - α^{2}) \int_{0}^{2 π} d θ \\ = 2 π (1 - α^{2}) \end{array}

また、

α \to 0 \Rightarrow 2 π