3重積分円柱座標と球座標球、半径、直径、平面、距離、密度、三角関数(正弦と余弦)、倍角、加法定理

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続解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第9章(3重積分)、2(円柱座標と球座標)の練習問題6の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} 2 \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \int_{0}^{a} k ρ (\cos φ) ρ^{2} \sin φ d ρ d φ d θ \\ = 2 k \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \int_{0}^{a} ρ^{3} \frac{\sin 2 φ}{2} d φ d θ \\ = \frac{k}{4} \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{\frac{π}{2}} {[ρ^{4}]}_{0}^{a} \sin 2 φ d φ d θ \\ = \frac{k a^{4}}{4} \int_{0}^{2 π} {[- \frac{\cos 2 φ}{2}]}_{0}^{\frac{π}{2}} d θ \\ = \frac{k a^{4}}{8} \int_{0}^{2 π} 2 d θ \\ = \frac{k a^{4}}{4} \cdot 2 π \\ = \frac{π k a^{4}}{2} \end{array}

(kは比例定数）