3重積分円柱座標と球座標球面、柱面、内部、体積、三角関数(正弦と余弦)、累乗

学習環境

続解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第9章(3重積分)、2(円柱座標と球座標)の練習問題9の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} 2 \int_{0}^{π} \int_{0}^{a (\sin θ)} \int_{0}^{\sqrt{a^{2} - r^{2} \cos^{2} θ - r^{2} \sin θ}} r dz d r d θ \\ = 2 \int_{0}^{a} \int_{0}^{(\sin θ)} \int_{0}^{\sqrt{a^{2} - r^{2}}} r dz d r d θ \\ = 2 \int_{0}^{π} \int_{0}^{a (\sin θ)} r {[z]}_{0}^{\sqrt{a^{2} - r^{2}}} d r d θ \\ = 2 \int_{0}^{π} \int_{0}^{a (\sin θ)} r \sqrt{a^{2} - r^{2}} d r d θ \\ = 2 \int_{0}^{π} {[- \frac{1}{3} {(a^{2} - r^{2})}^{\frac{3}{2}}]}_{0}^{a (\sin θ)} d θ \\ = - \frac{2}{3} \int_{0}^{π} ({(a^{2} - a^{2} \sin^{2} θ)}^{\frac{3}{2}} - {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}) d θ \\ = - \frac{2}{3} \int_{0}^{π} ({(a^{2} \cos^{2} θ)}^{\frac{3}{2}} - a^{3}) d θ \\ = - \frac{2 a^{3}}{3} (2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{3} θ d θ - \int_{0}^{π} d θ) \\ = - \frac{2 a^{3}}{3} (2 \cdot \frac{2}{3} - π) \\ = - \frac{2 a^{3}}{9} (4 - 3 π) \\ = \frac{2 a^{3}}{9} (3 π - 4) \end{array}

コード、入出力結果(Wolfram Language, Jupyter Notebook)

PolarPlot[Sin[t], {t, 0, Pi}]

ContourPlot3D[
    x^2+y^2+z^2 == 2^2,
    {x, -2, 2},
    {y, -2, 2},
    {z, -2, 2},
    AxesLabel -> Automatic
]