数学のブログ

3重積分 円柱座標と球座標 球面、曲面、領域、体積

続 解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第9章(3重積分)、2(円柱座標と球座標)の練習問題8の解答を求めてみる。

a + a 2 = 1 a 2 + a - 1 = 0 a = - 1 + 1 + 4 2 = - 1 + 5 2
∫ 0 a π ( z ) 2 dz + ∫ a 1 π ( 1 - z 2 ) 2 dz = π ( ∫ 0 a z dz + ∫ a 1 ( 1 - z 2 ) dz ) = π ( 1 2 [ z 2 ] 0 a + [ z - 1 3 z 3 ] a 1 ) = π ( 1 2 a 2 + ( 1 - 1 3 ) - ( a - 1 3 a 3 ) ) = π ( 1 3 a 3 + 1 2 a 2 - a + 2 3 ) = π ( 1 3 · 1 8 ( - 1 + 5 ) 3 + 1 2 · 1 4 ( - 1 + 5 ) 2 + - 1 + 5 2 + 2 3 ) = π ( 1 24 ( - 1 + 3 5 - 3 · 5 + 5 5 ) + 1 8 ( 1 - 2 5 + 5 ) + 1 - 5 2 + 2 3 ) = π ( 1 24 ( - 16 + 8 5 ) + 1 8 ( 6 - 2 5 ) + 1 2 ( 1 - 5 ) + 2 3 ) = π ( ( - 2 3 + 3 4 + 1 2 + 2 3 ) + ( 1 3 - 1 4 - 1 2 ) 5 ) = π ( 5 4 + 4 - 3 - 6 12 5 ) = π ( 5 4 - 5 12 5 )

コード、入出力結果(Wolfram Language, Jupyter Notebook)

ContourPlot3D[
    {
        x^2+y^2+z^2 == 1,
        x^2+y^2==z
    },
    {x, -1, 1},
    {y, -1, 1},
    {z, 0, 2}
]
Output