3重積分円柱座標と球座標球面の内部の体積、半径、三角関数(正弦と余弦)

学習環境

続解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第9章(3重積分)、2(円柱座標と球座標)の練習問題1の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{π} \int_{0}^{α} ρ^{2} \sin φ d ρ d φ d θ \\ = \frac{1}{3} \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{π} {[ρ^{3}]}_{0}^{α} \sin φ d φ d θ \\ = \frac{1}{3} \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{π} α^{3} \sin φ d φ d θ \\ = \frac{α^{3}}{3} \int_{0}^{2 π} {[- \cos φ]}_{0}^{π} d θ \\ = \frac{α^{3}}{3} \int_{0}^{2 π} (1 + 1) d θ \\ = \frac{2 α^{3}}{3} {[θ]}_{0}^{2 π} \\ = \frac{4 π α^{3}}{3} \end{array}