数学のブログ

3重積分円柱座標と球座標球殻、内殻、外殻、密度、原点からの距離、反比例、質量

続解析入門 (原書第2版)
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原著: Calculus of Several Variables

学習環境

続解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第9章(3重積分)、2(円柱座標と球座標)の練習問題4の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{π} \int_{a}^{b} \frac{k}{ρ} ρ^{2} \sin φ d ρ d φ d θ \\ = \frac{k}{2} \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{π} {[ρ^{2}]}_{a}^{b} \sin φ d φ d θ \\ = \frac{k (b^{2} - a^{2})}{2} \int_{0}^{2 π} {[- \cos φ]}_{0}^{π} d θ \\ = k (b^{2} - a^{2}) \int_{0}^{2 π} d θ \\ = 2 π k (b^{2} - a^{2}) \end{array}

(kは定数）