3重積分円柱座標と球座標原点からの距離、逆数、累乗、球面の間にある領域、積分、極限

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続解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第9章(3重積分)、2(円柱座標と球座標)の練習問題14の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} n \neq 3 \\ \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{π} \int_{a}^{b} \frac{1}{ρ^{n}} ρ^{2} \sin φ d ρ d φ d θ \\ = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{π} \int_{a}^{b} ρ^{(2 - n)} \sin φ d ρ d φ d θ \\ = \frac{1}{3 - n} \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{π} {[ρ^{3 - n}]}_{a}^{b} \sin φ d φ d θ \\ = \frac{b^{3 - n} - a^{3 - n}}{3 - n} \int_{0}^{2 π} {[- \cos φ]}_{0}^{π} d θ \\ = \frac{2 (b^{3 - n} - a^{3 - n})}{3 - n} \int_{0}^{2 π} d θ \\ = \frac{4 π (b^{3 - n} - a^{3 - n})}{3 - n} \end{array}

また、

\begin{array}{l} n = 3 \\ \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{π} {[\log ρ]}_{a}^{b} \sin φ d φ d θ \\ = \log \frac{b}{a} \int_{0}^{2 π} {[- \cos φ]}_{0}^{π} d θ \\ = 2 \log \frac{b}{a} \int_{0}^{2 π} d θ \\ = 4 π \log \frac{b}{a} \end{array}

n = 3

のときは収束しない。

n \neq 3

のとき、

3 - n > 0

すなわち、

n = 0, 1, 2

のとき収束する。