3重積分円柱座標と球座標円錐の体積、三角関数(正弦と余弦)

学習環境

続解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第9章(3重積分)、2(円柱座標と球座標)の練習問題2の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \int_{0}^{\frac{1}{\cos φ}} ρ^{2} \sin φ d ρ d φ d θ \\ = \frac{1}{3} \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{\frac{π}{4}} {[p^{3}]}_{0}^{\frac{1}{\cos φ}} \sin φ d φ d θ \\ = \frac{1}{3} \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sin φ}{\cos^{3} φ} d φ d θ \\ = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} {[\frac{1}{\cos^{2} φ}]}_{0}^{\frac{π}{4}} d θ \\ = \frac{1}{6} \int_{0}^{2 π} (\frac{1}{\frac{1}{2}} - 1) d θ \\ = \frac{1}{6} \int_{0}^{2 π} 1 d θ \\ = \frac{π}{3} \end{array}

コード、入出力結果(Wolfram Language, Jupyter Notebook)

RegionPlot3D[
    Sqrt[x^2+y^2] <= z <= 1,
    {x, -1, 1},
    {y, -1, 1},
    {z, 0, 2}
]

RegionPlot3D[
    Sqrt[x^2+y^2] <= z <= 1,
    {x, -1, 1},
    {y, -1, 1},
    {z, 0, 1}
]