3重積分円柱座標と球座標円柱、領域、積分

続解析入門 (原書第2版)
楽天ブックス
Yahoo!ショッピング
au PAY マーケット
原著: Calculus of Several Variables

学習環境

続解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第9章(3重積分)、2(円柱座標と球座標)の練習問題12の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} \int_{0}^{a} \int_{0}^{π} \int_{0}^{b} 7 (r \sin θ) z r d r d θ dz \\ = 7 \int_{0}^{a} \int_{0}^{π} \int_{0}^{b} r^{2} (\sin θ) z d r d θ dz \\ = \frac{7}{3} \int_{0}^{a} \int_{0}^{π} {[r^{3}]}_{0}^{b} (\sin θ) z d θ dz \\ = \frac{7}{3} b^{3} \int_{0}^{a} \int_{0}^{π} z \sin θ d θ d z \\ = \frac{7}{3} b^{3} \int_{0}^{a} z {[- \cos θ]}_{0}^{π} d z \\ = \frac{7 \cdot 2}{3} b^{3} \int_{0}^{a} z d z \\ = \frac{7 \cdot 2}{3 \cdot 2} b^{3} {[z^{2}]}_{0}^{a} \\ = \frac{7}{3} a^{2} b^{3} \end{array}

コード、入出力結果(Wolfram Language, Jupyter Notebook)

a = 1

b = 2

ContourPlot3D[
    {
        z == 0,
        z == a,
        x^2+y^2==b^2
    },
    {x, 0, 2},
    {y, 0, 2},
    {z, 0, 2},
    AxesLabel -> Automatic
]