3重積分円柱座標と球座標円柱、三角関数(正弦と余弦)、累乗、倍角、加法定理

学習環境

続解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第9章(3重積分)、2(円柱座標と球座標)の練習問題5の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{a} \int_{0}^{b} {(r \cos θ)}^{2} r dz d r d θ \\ = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{a} \int_{0}^{b} r^{3} \cos^{2} θ dz d r d θ \\ = b \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{a} r^{3} \cos^{2} θ d r d θ \\ = \frac{b}{4} \int_{0}^{2 π} {[r^{4}]}_{0}^{a} \cos^{2} θ d θ \\ = \frac{a^{4} b}{4} \int_{0}^{2 π} \cos^{2} θ d θ \\ = \frac{a^{4} b}{4} \int_{0}^{2 π} \frac{\cos 2 θ + 1}{2} d θ \\ = \frac{a^{4} b}{4} {[\frac{\sin 2 θ}{4} + \frac{1}{2} θ]}_{0}^{2 π} \\ = \frac{π a^{4} b}{4} \end{array}