数学のブログ

グリーンの定理 3重積 不等式、領域、体積、球体

続 解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第9章(3重積分)、1(3重積分)の練習問題1の解答を求めてみる。

問題の領域の体積は、原点を中心とする半径1の球体の体積の8分の1なので、

∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 2 ∫ 0 1 - x 2 - y 2 1 dz dy dx = 4 3 π · 1 3 · 1 8 = π 6

コード、入出力結果(Wolfram Language, Jupyter Notebook)

Integrate[
    Integrate[
        Integrate[
            1,
            {z, 0, Sqrt[1-x^2-y^2]}
        ],
        {y, 0, Sqrt[1-x^2]}
    ],
    {x, 0, 1}
]
Output
RegionPlot3D[
    0 <= x <= 1 &&
    0 <= y <= Sqrt[1-x^2] &&
    0 <= z <= Sqrt[1-x^2-y^2],
    {x, 0, 1},
    {y, 0, 1},
    {z, 0, 1}
]
Output
RegionPlot[
    0 <= x <= 1 &&
    0 <= y <= Sqrt[1-x^2],
    {x, 0, 1},
    {y, 0, 1}
]
Output