数学のブログ

グリーンの定理 3重積 三角関数(正弦と余弦)、累乗

続 解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第9章(3重積分)、1(3重積分)の練習問題2の解答を求めてみる。

∫ 0 π ∫ 0 sin θ ∫ 0 ρ cos θ ρ 2 dz d ρ d θ = ∫ 0 π ∫ 0 sin θ ρ 2 [ z ] 0 ρ cos θ d ρ d θ = ∫ 0 π ∫ 0 sin θ ρ 3 cos θ d ρ d θ = ∫ 0 π [ 1 4 ρ 4 ] 0 sin θ cos θ d θ = 1 4 ∫ 0 π sin 4 θ cos θ d θ = 1 4 ∫ 0 π ( 1 - cos 2 θ ) 2 cos θ d θ = 1 4 ∫ 0 π ( 1 - 2 cos 2 θ + cos 4 θ ) cos θ d θ = 1 4 ∫ 0 π ( cos θ - 2 cos 3 θ + cos 5 θ ) d θ = 0

コード、入出力結果(Wolfram Language, Jupyter Notebook)

RegionPlot3D[
    0 <= θ <= Pi &&
    0 <= p <= Sin[θ] &&
    0 <= z <= p Cos[θ],
    {θ, 0, Pi},
    {p, 0, 1},
    {z, -1, 1},
    AxesLabel -> Automatic,
    BoxRatios -> {Pi, 1, 2}
]
Output