数学のブログ

2次の行列と行列式 2次の行列の固有値 ジョルダン標準形 累乗、対角化、正方行列、可逆行列

行列と行列式 (現代数学への入門) (砂田 利一(著)、岩波書店)の第1章(2次の行列と行列式)、1.4(2次の行列の固有値)、b(ジョルダン標準形)の問13の解答を求めてみる。

( P A P - 1 ) n = P A n P - 1 [ - 1 0 0 5 ] n = P A n P - 1 P - 1 [ ( - 1 ) n 0 0 5 n ] P = A n A n = [ 1 1 - 1 2 ] [ ( - 1 ) n 0 0 5 n ] [ 2 3 - 1 3 1 3 1 3 ] = [ ( - 1 ) n 5 n ( - 1 ) n + 1 2 · 5 n ] [ 2 3 - 1 3 1 3 1 3 ] = [ 2 3 ( - 1 ) n + 5 n 3 ( - 1 ) n + 1 3 + 5 n 3 2 3 ( - 1 ) n + 1 + 2 · 5 n 3 ( - 1 ) n 3 + 2 · 5 n 3 ]

コード、入出力結果(Wolfram Language, Jupyter Notebook)

A = {{1, 2}, {4, 3}}

{{1, 2}, {4, 3}}
Dot[A, A]

{{9, 8}, {16, 17}}
An[n_] := {{2/3(-1)^n+5^n/3, (-1)^(n+1)/3+5^n/3},
           {2/3(-1)^(n+1)+2 5^n/3, (-1)^n/3+2 5^n/3}}

An[1]

{{1, 2}, {4, 3}}
An[2]

{{9, 8}, {16, 17}}
Dot[A, A, A]

{{41, 42}, {84, 83}}
Dot[%, A]

{{209, 208}, {416, 417}}
Dot[%, A]

{{1041, 1042}, {2084, 2083}}
Table[An[n], {n, 3, 5}]

{{{41, 42}, {84, 83}}, {{209, 208}, {416, 417}}, {{1041, 1042}, {2084, 2083}}}
% // TraditionalForm
Output