2次の行列と行列式高次の累乗、ハミルトンーケイリーの定理(Hamilton-Cayley)

学習環境

行列と行列式 (現代数学への入門) (砂田利一(著)、岩波書店)の第1章(2次の行列と行列式)、演習問題1.3の解答を求めてみる。

ハミルトン・ケイリーの定理より、

A^{2} - (t r A) A + (\det A) I = O

また、

\begin{array}{l} t r A \\ = t r \frac{1}{2} [\begin{matrix} - 1 & \sqrt{3} \\ - \sqrt{3} & - 1 \end{matrix}] \\ = - 1 \\ \det A \\ = \det \frac{1}{2} [\begin{matrix} - 1 & \sqrt{3} \\ - \sqrt{3} & - 1 \end{matrix}] \\ = \frac{1}{4} (1 + 3) \\ = 1 \end{array}

よって、

A^{2} + A + I = O

ゆえに、

\begin{array}{l} A^{2} = - A - I \\ A^{3} - I \\ = (A - I) (A^{2} + A + I) \\ = (A - I) O \\ = O \\ A^{3} = I \\ A^{5} \\ = A^{3} A^{2} \\ = I (- A - I) \\ = - A - I \\ = - \frac{1}{2} [\begin{matrix} - 1 & \sqrt{3} \\ - \sqrt{3} & - 1 \end{matrix}] - [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}] \\ = \frac{1}{2} [\begin{matrix} - 1 & - \sqrt{3} \\ \sqrt{3} & - 1 \end{matrix}] \end{array}