2次の行列と行列式転置行列、積、等式

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行列と行列式 (現代数学への入門) (砂田利一(著)、岩波書店)の第1章(2次の行列と行列式)、演習問題1.5の解答を求めてみる。

A = [\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}]

とおく。

A^{T} J A = J

のとき、

\begin{array}{l} A^{T} J A \\ = [\begin{matrix} a & c \\ b & d \end{matrix}] [\begin{matrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}] \\ = [\begin{matrix} - c & a \\ - d & b \end{matrix}] [\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}] \\ = [\begin{matrix} 0 & a d - b c \\ - (a d - b c) & 0 \end{matrix}] \\ a d - b c = 1 \\ - (a d - b c) = - 1 \end{array}

よって、

\begin{array}{l} \det A \\ = a d - b c \\ = 1 \end{array}

また、

\det A = 1

ならば、

\begin{array}{l} \det A = 1 \\ a d - b c = 1 \end{array}

なので、

A^{T} J A = [\begin{matrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{matrix}] = J