数学のブログ

2次の行列と行列式 転置行列、積、双曲線関数(双曲線正弦関数、双曲線余弦関数)

行列と行列式 (現代数学への入門) (砂田 利一(著)、岩波書店)の第1章(2次の行列と行列式)、演習問題1.6の解答を求めてみる。

A = [ a b c d ]

とおく。

このとき、

A T H A = [ a c b d ] [ 1 0 0 - 1 ] [ a b c d ] = [ a - c b - d ] [ a b c d ] = [ a 2 - c 2 a b - c d a b - c d b 2 - d 2 ]

問題の仮定より、

a 2 - c 2 = 1 b 2 - d 2 = - 1 a b - c d = 0

よって、

a 2 - c 2 = 1 d 2 - b 2 = 1

から

a = d = cosh t c = b = sinh t

を満たすt が存在する。

このとき、

a b - c d = cosh t sinh t - sinh t cosh t = 0

よって、 実行列Aは

A = [ cosh t sinh t sinh t cosh t ]

と表される。

コード、入出力結果(Wolfram Language, Jupyter Notebook)

Plot[
    {Cosh[t], Sinh[t]},
    {t, -2, 2},
    PlotLegends -> "Expressions"
]
Output
Plot[
    {(Exp[x] + Exp[-x])/2,
     (Exp[x] - Exp[-x])/2},
    {x, -2, 2},
    PlotLegends -> "Expressions"
]
Output