2次の行列と行列式方程式の解、クラメルの公式、逆数、等式

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行列と行列式 (現代数学への入門) (砂田利一(著)、岩波書店)の第1章(2次の行列と行列式)、演習問題1.7の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} {\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y + c_{1} z = 0 \\ a_{2} x + b_{2} y + c_{2} z = 0 \end{cases} \\ {\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y = - c_{1} z \\ a_{2} x + b_{2} y = - c_{2} z \end{cases} \end{array}

クラメルの公式より、

\begin{array}{l} x = {(\det [\begin{matrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{matrix}])}^{- 1} \det [\begin{matrix} - c_{1} z & b_{1} \\ - c_{2} z & b_{2} \end{matrix}] \\ x = {(\det [\begin{matrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{matrix}])}^{- 1} (- z) \det [\begin{matrix} c_{1} & b_{1} \\ c_{2} & b_{2} \end{matrix}] \\ x = z {(\det [\begin{matrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{matrix}])}^{- 1} \det [\begin{matrix} b_{1} & c_{1} \\ b_{2} & c_{2} \end{matrix}] \\ x {(\det [\begin{matrix} b_{1} & c_{1} \\ b_{2} & c_{2} \end{matrix}])}^{- 1} = z {(\det [\begin{matrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{matrix}])}^{- 1} \end{array}

また、

{\begin{cases} a_{1} x + c_{1} z = - b_{1} y \\ a_{2} x + c_{2} z = - b_{2} y \end{cases}

なので同様にして、

\begin{array}{l} x {(\det [\begin{matrix} c_{1} & b_{1} \\ c_{2} & b_{2} \end{matrix}])}^{- 1} = y {(\det [\begin{matrix} a_{1} & c_{1} \\ a_{2} & c_{2} \end{matrix}])}^{- 1} \\ x {(\det [\begin{matrix} b_{1} & c_{1} \\ b_{2} & c_{2} \end{matrix}])}^{- 1} = y {(\det [\begin{matrix} a_{1} & c_{2} \\ a_{2} & c_{2} \end{matrix}])}^{- 1} \end{array}