2次の行列と行列式対角行列、対角化、逆行列

学習環境

行列と行列式 (現代数学への入門) (砂田利一(著)、岩波書店)の第1章(2次の行列と行列式)、演習問題1.11の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} P = [\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}] \\ \det P \neq 0 \end{array}

とおく。

このとき、

\begin{array}{l} P^{- 1} \\ = \frac{1}{\det P} [\begin{matrix} d & - b \\ - c & a \end{matrix}] \\ = \frac{1}{a d - b c} [\begin{matrix} d & - b \\ - c & a \end{matrix}] \end{array}

1つ目の行列について。

\begin{array}{l} P^{- 1} A P \\ = \frac{1}{a d - b c} [\begin{matrix} d & - b \\ - c & a \end{matrix}] [\begin{matrix} - 4 & 15 \\ - 2 & 7 \end{matrix}] [\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}] \\ = \frac{1}{a d - b c} [\begin{matrix} d & - b \\ - c & a \end{matrix}] [\begin{matrix} - 4 a + 15 c & - 4 b + 15 d \\ - 2 a + 7 c & - 2 b + 7 d \end{matrix}] \end{array}

これが対角行列になるためには、

\begin{array}{l} (- 4 b + 15 d) d - b (- 2 b + 7 d) = 0 \\ 2 b^{2} - 11 b d + 15 d^{2} = 0 \\ (b - 3 d) (2 b - 5 d) = 0 \\ d = \frac{b}{3}, \frac{2}{5} b \\ (- 4 a + 15 c) (- c) + a (- 2 a + 7 c) = 0 \\ - 2 a^{2} + 11 a c - 15 c^{2} = 0 \\ 2 a^{2} - 11 a c + 15 c^{2} = 0 \\ (a - 3 c) (2 a - 5 c) = 0 \\ c = \frac{a}{3}, \frac{2}{5} a \end{array}

ここで、

a d - b c \neq 0

なので、行列Pの1つは、

P = [\begin{matrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \end{matrix}]

2つ目の行列について。

\begin{array}{l} P^{- 1} A P \\ = \frac{1}{a d - b c} [\begin{matrix} d & - b \\ - c & a \end{matrix}] [\begin{matrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{matrix}] [\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}] \\ = \frac{1}{a d - b c} [\begin{matrix} d & - b \\ - c & a \end{matrix}] [\begin{matrix} 2 a + c & 2 b + d \\ 3 a + 4 c & 3 b + 4 d \end{matrix}] \\ (2 b + d) d + (- b) (3 b + 4 d) = 0 \\ - 3 b^{2} - 2 b d + d^{2} = 0 \\ 3 b^{2} + 2 b d - d^{2} = 0 \\ (b + d) (3 b - d) = 0 \\ d = - b, 3 b \end{array}

よって、求める行列Pは、

[\begin{matrix} 1 & 1 \\ - 1 & 3 \end{matrix}]

コード、入出力結果(Wolfram Language, Jupyter Notebook)

P = {{3, 5}, {1, 2}}

{{3, 5}, {1, 2}}

A = {{-4, 15}, {-2, 7}}

{{-4, 15}, {-2, 7}}

Dot[Inverse[P], A, P]

{{1, 0}, {0, 2}}

% // TraditionalForm

P = {{1, 1}, {-1, 3}}

{{1, 1}, {-1, 3}}

A = {{2, 1}, {3, 4}}

{{2, 1}, {3, 4}}

Dot[Inverse[P], A, P]

{{1, 0}, {0, 5}}

% // TraditionalForm