2次の行列と行列式固有値と固有ベクトル

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行列と行列式 (現代数学への入門) (砂田利一(著)、岩波書店)の第1章(2次の行列と行列式)、演習問題1.12の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} \det [\begin{matrix} x - 1 & - 2 \\ 1 & x - 4 \end{matrix}] = 0 \\ x^{2} - 5 x + 4 + 2 = 0 \\ x^{2} - 5 x + 6 = 0 \\ (x - 2) (x - 3) = 0 \end{array}

固有値の1つは2。

2に対応する固有ベクトル。

\begin{array}{l} [\begin{matrix} 1 & 2 \\ - 1 & 4 \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}] = 2 [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}] \\ {\begin{cases} x + 2 y = 2 x \\ - x + 4 y = 2 y \end{cases} \\ x = 2 y \\ - 2 y + 4 y = 2 y \\ 4 y = 4 y \\ [\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}] \end{array}

\begin{array}{l} \det [\begin{matrix} x - 3 & 1 \\ - 2 & x \end{matrix}] = 0 \\ x^{2} - 3 x + 2 = 0 \\ (x - 1) (x - 2) = 0 \end{array}

固有値1 に対応する固有ベクトル。

\begin{array}{l} [\begin{matrix} 3 & - 1 \\ 2 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}] = [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}] \\ {\begin{cases} 3 x - y = x \\ 2 x = y \end{cases} \\ [\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}] \end{array}