2次の行列と行列式上三角行列、積、累乗、級数、等差数列

学習環境

行列と行列式 (現代数学への入門) (砂田利一(著)、岩波書店)の第1章(2次の行列と行列式)、演習問題1.9の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} A = [\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}] \\ A^{2} = [\begin{matrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{matrix}] \\ A^{3} = [\begin{matrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{matrix}] \\ A^{4} = [\begin{matrix} 1 & 4 \\ 0 & 1 \end{matrix}] \end{array}

また、

\begin{array}{l} A^{n} \\ = A^{n - 1} A \\ = [\begin{matrix} 1 & n - 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}] \\ = [\begin{matrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{matrix}] \end{array}

よって帰納法によりすべての正整数nに対して成り立つ。

ゆえに、

\begin{array}{l} S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} A^{k} \\ = \sum_{k = 1}^{n} [\begin{matrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{matrix}] \\ = [\begin{matrix} n & \sum_{k = 1}^{n} k \\ 0 & n \end{matrix}] \\ = [\begin{matrix} n & \frac{n (n + 1)}{2} \\ 0 & n \end{matrix}] \end{array}