数学のブログ

2次の行列と行列式トレースの平方と平方のトレース、差、等式

行列と行列式 (現代数学への入門)
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学習環境

行列と行列式 (現代数学への入門) (砂田利一(著)、岩波書店)の第1章(2次の行列と行列式)、演習問題1.13の解答を求めてみる。

A = [\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}]

とおく。

\begin{array}{l} \det A = a d - b c \\ t r A = a + d \\ A^{2} = [\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}] [\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}] \\ = [\begin{matrix} a^{2} + b c & a b + b d \\ a c + c d & b c + d^{2} \end{matrix}] \\ t r A^{2} = a^{2} + 2 b c + d^{2} \\ {(t r A)}^{2} = a^{2} + 2 a d + d^{2} \\ \frac{1}{2} ({(t r A)}^{2} - t r A^{2}) \\ = \frac{1}{2} (2 a d - 2 b c) \\ = a d - b c \end{array}

よって、

\det A = \frac{1}{2} ({(t r A)}^{2} - t r A^{2})