数学のブログ

関数の変化をとらえる - 関数の極限と微分法 関数の連続性 区間における連続 絶対値、三角関数、不連続点、周期

新装版 数学読本4 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第17章(関数の変化をとらえる - 関数の極限と微分法)、17.2(関数の連続性)、区間における連続の問16の解答を求めてみる。

1

| x | < 1 lim n → ∞ | x | n - 1 | x | n + 1 = - 1 | x | = 1 lim n → ∞ | x | n - 1 | x | n + 1 = 0 | x | > 1 lim n → ∞ | x | n - 1 | x | n + 1 = lim n → ∞ 1 - 1 | x | n 1 + 1 | x | n = 1

関数のグラフ。

不連続点。

x = ± 1

2

x = 0 lim n → ∞ x 2 n + 1 + 1 x 2 n + 1 = 1 | x | > 1 lim n → ∞ x 2 n + 1 + 1 x 2 n + 1 = lim n → ∞ x + 1 x 2 n 1 + 1 x 2 n = x x = 1 lim n → ∞ x 2 n + 1 + 1 x 2 n + 1 = 1 x = - 1 lim n → ∞ x 2 n + 1 + 1 x 2 n + 1 = 0 | x | < 1 lim n → ∞ x 2 n + 1 + 1 x 21 + 1 = 1

グラフ。

不連続点。

x = - 1

3

x = ± ( π 2 + k π ) ( k ∈ ℤ ) lim n → ∞ | sin x | n = 1 x ≠ ± π 2 lim n → ∞ | sin x | n = 0

グラフ。

不連続点。

x = π 2 + k π ( k ∈ ℤ )

4

x = ± π 2 + 2 k π ( k ∈ ℤ ) lim n → ∞ sin x 1 + sin 2 n x = ± 1 1 + 1 = ± 1 2 x ≠ π 2 + k π ( k ∈ ℤ ) lim n → ∞ sin x 1 + sin 2 n x = sin x

グラフ。

不連続点。

x = π 2 + k π ( k ∈ ℤ )

コード、入出力結果(Wolfram Language、Jupyter)

Plot[
    Limit[(Abs[x]^n-1)/(Abs[x]^n+1), n -> Infinity],
    {x, -5, 5},
    PlotRange -> {-5, 5}
]
Output
Plot[
    Limit[(x^(2n+1)+1)/(x^(2n)+1), n -> Infinity],
    {x, -5, 5},
    PlotRange -> {-5, 5}
]
Output
Plot[
    Limit[Abs[Sin[x]]^n, n -> Infinity],
    {x, -5, 5}
]
Output
Plot[
    Limit[Sin[x]/(1+Sin[x]^(2n)), n -> Infinity],
    {x, -5, 5}
]
Output