数学のブログ

関数の変化をとらえる - 関数の極限と微分法 関数の極限 極限の応用問題 2円の交点

新装版 数学読本4 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第17章(関数の変化をとらえる - 関数の極限と微分法)、17.1(関数の極限)、極限の応用問題の問10の解答を求めてみる。

問題の2円の交点を求める。

( x - h ) 2 + ( y - h ) 2 = x 2 + y 2 - 2 h x + h 2 - 2 h y + h 2 = 0 - 2 h ( x + y ) + 2 h 2 = 0 x + y - h = 0 x + y = h y = - x + h x 2 + ( - x + h ) 2 = 1 x 2 + x 2 - 2 x h + h 2 = 1 2 x 2 - 2 h x + h 2 - 1 = 0

よって

x = h ± h 2 - 2 ( h 2 - 1 ) 2 = h ± 2 - h 2 2

なので、交点は

( h ± 2 - h 2 2 , h ∓ 2 - h 2 2 )

ゆえに、

h → 0

のとき、 交点は

( ± 2 2 , ∓ 2 2 ) = ( ± 1 2 , ∓ 1 2 )

に近づく。

コード、入出力結果(Wolfram Language、Jupyter)

Manipulate[
    ContourPlot[
        {
            x^2+y^2==1,
            (x-h)^2+(y-h)^2==1,
            x == 1/Sqrt[2],
            y == -1/Sqrt[2],
            x == -1/Sqrt[2],
            y == 1/Sqrt[2]
        },
        {x, -2, 2},
        {y, -2, 2},
        FrameLabel -> Automatic
    ],
    {h, -2, 2}
]
Output